09 juillet 2005

Modèles dynamiques de population (I)

Les modèles de dynamique des populations offrent un contexte idéal pour jouer avec le concept d'équation différentielle. L'étude de ces modèles est une passion, mais comme cela ne fait pas partie de mon boulot, je n'ai pas trop de temps à consacrer à ce hobby. Ce que j'aime c'est que les modèles peuvent se construire facilement mais il n'est pas évident de deviner à l'avance les conséquences de telle ou telle modification du modèle. Donc tenir compte d'un effet négligé jusque là, même si c'est un effet très simple à encoder dans le modèle, peut avoir des conséquences importantes sur la nature des solutions du modèles. Et comme ces solutions représentent le nombre d'individus d'une espèce donnée, c'est potentiellement important et intéressant, même d'un point de vue écologique.


Je vais essayer en quelques posts d'expliquer quelques modèles simples et expliquer comment ils sont construits.

Avant de parler d'équation différentielle, il faut parler de dérivée. La dérivée d'une quantité, par rapport au temps par exemple, donne une information sur la variation de cette quantité au fil du temps.
 
Si la dérivée est nulle, il n'y a pas de variation. Si la dérivée est positive, il y a augmentation. Si la dérivée est négative, il y a diminution de cette quantité. Supposons que la dérivée est positive. Si cette valeur est grande, il y a une forte augmentation; si cette valeur est petite, il y a une légère augmentation.

La dérivée d'une quantité pour un temps donné, t, est simplement la valeur du coefficient de direction (pente) de la droite tangente à cette quantité au temps t. C'est plus clair sur ce graphique.





Une quantité f(t) variant au cours du temps est représentée en bleu. Trois tangentes sont représentées pour trois temps différents t0, t1, t2. Le coefficient de direction de ces tangentes est la dérivée de f(t) au temps t0, t1, t2. La dérivée est notée ou plus simplement . Pour le temps t0, la dérivée est positive et effectivement la quantité f(t) augmente autour de t0. Pour le temps t1, la dérivée est négative et effectivement la quantité f(t) diminue autour de t1. Enfin, pour le temps t2, la dérivée est nulle, en ce point la quantité f(t) ne varie pas nous avons atteint un minimum (ou un maximum, ou parfois encore un point d'inflexion pour les spécialistes).

On peut maintenant parler d'équation différentielle. Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction f(t) et qui fait intervenir éventuellement cette fonction mais obligatoirement une de ses dérivées. L'équation la plus simple est . Cette équation veut dire que la dérivée de la fonction inconnue est nulle pour toute valeur de t; la tangente est horizontale pour toute valeur de t. La fonction est donc une constante, elle vaut le même valeur pour toute valeur de t. Une autre équation simple est a est une constante non nulle. Cette équation veut dire que la dérivée de la fonction inconnue a une valeur constante (non nulle) pour toute valeur de t; la tangente a une pente constante non nulle pour toute valeur de t. La fonction est donc une droite; f(t) = a t + b. Sans entrer dans les détails, voici encore une équation utile pour la suite . Cette équation dit que la dérivée de la fonction est encore la fonction au signe près. La solution est alors une exponentielle, croissante si on considère le signe plus, décroissante pour le signe moins.

La variation du nombre d'individu d'une ou plusieurs espèces peut être modélisée à l'aide d'une ou plusieurs équations différentielles. Considérons une espèce comportant un grand nombre d'individu. Dans ce cas, ce nombre peut être représenté par un nombre réel au lieu d'un nombre entier, puisque ce nombre étant grand l'erreur commise est négligeable (en effet, si on a 100000.5, le nombre d'individu sera 100000 ou 100001 avec une erreur négligeable; si on avait 0.5 l'erreur serait plus importante). Cela permet aussi d'utiliser l'approximation du temps continu car il y a des naissances et des morts presque à chaque instant. Si on étudie une population de quelques éléphants (vivant très longtemps et caractérisés par un long temps de gestation), cette approximation n'est plus très justifiée; il faut alors recourir aux équations aux différences finies (qui sont la version discrète des équations différentielles).

Dans un modèle dynamique de population, on fait simplement le bilan de ce qui fait croître et décroître la population. Soit N(t) la population au temps t. est alors la variation de la population au temps t. Le modèle de population le plus simple considère une espèce seule sans prédateur et ayant autant de nourriture que nécessaire. Cette espèce se reproduit avec un taux b et meurt avec un taux d. De plus, ces taux sont supposés constants. Dans ce cas, b est simplement le rapport du nombre de naissance avec la population total à un temps donné (peu importe lequel puisque b est constant). d est lui aussi simplement le rapport du nombre de mort avec la population total à un temps donné. Les naissances sont une contribution positive à la variation de la population  (ça fait augmenter la population) alors que les morts sont une contribution négative. Occupons-nous d'abord de la contribution positive en supposant que personne ne meurt. Il est clair que la variation de la population est proportionnelle à la population elle même N(t) puisque si on double la population (sans changer le taux de natalité) on va double les naissances. On a donc . Vu la définition du taux de naissance b, il est évident que le facteur de proportionnalité est b. Donc le bilan positif est . Occupons-nous maintenant de la contribution négative en supposant que personne ne naît. Il est clair que la variation de la population est proportionnelle à la population elle même N(t) puisque si on double la population (sans changer le taux de mortalité) on va double le nombre de morts. Le bilan négatif est donc . Le signe moins est présent car par convention d est positif alors que les morts contribue a faire diminuer la population. Si maintenant on tient compte à la fois des naissances et des morts on a simplement




Le coefficient k peut être positif, négatif ou nul. Il est positif si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité; la population va croître exponentiellement. Il est négatif dans le cas contraire; la population décroît exponentiellement. Dans le cas exceptionnelle où k = 0, (taux de natalité = taux de mortalité), la population reste constante. Les formes possibles des solutions sont données ci-dessous



[La folie, c'est se comporter de la même manière

et s'attendre à un résultat différent.
Albert Einstein]










20:51 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

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