17 juillet 2005

Modèles dynamiques de population (II)

Dans le post du 9 juillet, j'expliquais un premier modèle, relativement naïf, de population. Ce modèle est en fait dû à Thomas Robert Malthus (1766-1834) (voir par exemple ICI et encore ICI pour un peu plus d'informations sur ce personnage). Il publia un ouvrage intitulé "An Essay on the Principle of Population" en 1798 (cet ouvrage ce trouve intégralement ICI en format HTML et ICI en divers autres formats comme PDF). Dans ce modèle simple, on ne tient pas compte des limitations des ressources. C'est en fait une bonne approximation tant que la population reste faible (nous verrons cela plus loin sur un graphique), mais dès que la population croît cela n'est plus vrai.

Un modèle plus réaliste est celui introduit par Pierre-François Verhulst (1804-1849) en 1838 (voir
ICI pour plus d'informations sur ce mathématicien). En effet, quand la population croît l'interaction entre le membre de l'espèce ne peut plus être négligée. Il y a une compétition qui s'enclenche et un autre membre du groupe est susceptible de vous "voler le pain de la bouche" car en pratique les ressources sont limitées. Les autres membres du groupe deviennent alors gênants et ce processus empêche la population de croître indéfiniment (si le paramètre k était positif). L'interaction entre deux individus sera modélisée par un terme en N(t)2. Cela ne peut pas être un terme linéaire en N(t), puisque dans ce cas, cela reviendrait simplement à modifier le paramètre k. En effet, nous avions comme modèle 



Donc ajouter au membre de droite un terme du genre -q N(t), reviendrait à avoir à droite (k-q) N(t). Donc l'évolution de la population serait toujours exponentielle (croissante ou décroissante suivant que k-est positif ou négatif). Le seul cas où on aurait un équilibre surviendrait quand k = q. Il faudrait donc que l'interaction entre les paires de membres de la population se fasse avec une certaine "intensité" pour pouvoir stabiliser la croissance de la population. Ce n'est pas le bon mécanisme car quelque soit la valeur de q on constate toujours une saturation dans la croissance de la population.

Donc comme on vient de le voir, l'interaction entre deux individus sera modélisé par un terme en N(t)2 (une interaction entre trois individus serait modélisée par un terme ne N(t)3)
. Il devra être négatif car il joue contre la croissance de la population et son coefficient donnera l'importance de la nuisance de cet effet; nous l'appellerons q. On obtient alors le modèle suivant


Le système atteindra l'équilibre quand il n'y aura plus d'évolution de la population. Or l'évolution est donnée par . Il faut donc que cette dérivée soit nulle. Il faut donc chercher quand le terme de droite est nul. Il y a la solution sans intérêt avec N(t) = 0 (cette valeur n'est atteinte que si k est négatif et t tendant vers l'infini). Il y a une autre solution . Donc quand N(t) atteindra cette valeur, sera nulle et la population atteindra une valeur stable. On constate que si q est petit (peu d'interaction entre des paires d'individus, ce qui veut dire aussi qu'il y a beaucoup de ressources) la population maximale atteinte sera grande. Si parcontre il y a une forte interaction entre les paires d'individus, la population maximale est faible.

Voici la situation sur un graphique

On constate que lorsque k est négatif les modifications ne sont pas très spectaculaires. Quand k est positif on constate qu'effectivement la population tend vers une valeur limite qui est k/q c'est-à-dire dans ce cas 10. On voit également que dans ce cas, les deux courbes rouge et bleu sont en bon accord lorsque t est petit ou encore quand la population n'est pas encore importante (donc faible interaction entre les paires d'individus).

[Je n'ai pas échoué.

J'ai simplement trouvé 10.000 solutions qui ne fonctionnent pas.
Thomas Edison]








14:29 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

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