07 août 2005

Modèles dynamiques de population (III)

Dans le post du 17 juillet, j'expliquais comment on pouvait prendre en compte la limitation des ressources; cela entraînait donc une limite dans la croissance de la population. L'étape suivante dans la modélisation dynamique des populations est de tenir compte de l'interaction entre différentes espèces. Nous avons déjà vu comment modéliser l'interaction entre deux membres d'une même espèce à l'aide d'un terme quadratique. Le terme d'interaction entre deux membres d'espèces différentes sera du même type. Les modèles présentés dans ce post sont l'oeuvre de Alfred James Lotka (1880-1949) (voir ICI et ICI pour de brèves biographies) et de Vito Volterra (1860-1940) (voir ICI et ICI pour de brèves biographies). Il s'agit de modèles proie-prédateur ou de modèles de compétitions.

Un modèle proie-prédateur, est un modèle où, dans sa version la plus simple, on considère deux espèces dont l'une est mangée par l'autre. Les proies n'ont qu'un seul prédateur et se développeraient "indéfiniment" si les prédateurs n'étaient pas présents. Les prédateurs quant à eux n'ont aucun prédateur mais ne peuvent survivre sans les proies.

Un modèle de compétitions, est un modèle où, dans sa version la plus simple, on considère deux espèces qui sont en compétition pour se nourrir (par exemple des lapins et des moutons en compétition pour manger les ressources d'une île ou d'une réserve).

Construisons le modèle proie-prédateur le plus simple. Comme pour le cas d'une seule espèce, le modèle le plus simple est celui où on ne suppose qu'il n'y a pas de limite des ressources due à la surpopulation (voir post du 9 juillet). On appellera X(t) la population des proies et Y(t) la population des prédateurs. Occupons-nous d'abord de l'évolution de la population des proies, . S'il n'y avait pas de prédateurs, la population évoluerait en suivant la loi (rappelons qu'on suppose que le paramètre q vaut 0 pour chaque espèce). On suppose ici que la population des proies grandit s'il n'y a pas de prédateurs. L'interaction entre les proies et les prédateurs conduit à une diminution de la population des proies; il s'agira donc d'un terme négatif quadratique du type -A X(t) Y(t). Le paramètre A mesure en quelque sorte l'efficacité avec laquelle les prédateurs attrapent les proies. Le bilan donne donc l'évolution de la population des proies


Il nous reste maintenant à déterminer l'évolution de la population des prédateurs. Contrairement aux proies, on suppose que les prédateurs ne peuvent survivre sans les proies et que leur population suit la loi . Le paramètre présent dans cette loi est positif (comme tous les paramètres des modèles présentés ici, c'est une convention), on a donc une décroissance exponentielle. Les prédateurs survivent uniquement grâce à leur interaction avec les proies. Ce terme d'interaction sera donc positif et quadratique du type A B X(t) Y(t), où le paramètre B mesure l'efficacité avec laquelle la consommation de proie permet d'augmenter la population des prédateurs, de générer des naissances (0 < B < 1). Le bilan donne donc l'évolution de la population des prédateurs


On a donc cette fois un système d'équations couplées, car la population Y(t) des prédateurs intervient dans l'évolution de la population des proies et inversement.

On peut maintenant s'intéresser aux valeurs de X(t) et Y(t) qui annulent les dérivées premières; ce sont les points d'équilibres. Il y a le point X(t) = Y(t) = 0. Cependant une analyse un peu plus poussée (je passe ici les détails) montre que ce point est instable (saddle point). Donc le système ne tendra pas vers ce point. L'autre point est  et . De nouveau une analyse un peu plus poussée montre que dans ce cas le système ne va pas tendre vers cette valeur (comme c'était le cas pour le modèle de Verhulst), mais le système va osciller autour de ces valeurs "moyennes".

Pour les valeurs suivantes des paramètres A = 0.013, B = 0.5, , et des populations initiales X(0) = 85 et Y(0) = 50, on obtient le graphique suivant

La courbe bleue représente la population des proies et la courbes rouge représente la population des prédateurs. Les courbes en pointillé représentent les valeurs "moyennes" calculées plus haut. Les point importants qui ne dépendent pas des valeurs particulières des paramètres est que d'une part on a un comportement cyclique et que d'autre part le maximum de la population des proies précèdent toujours celui des prédateurs. Les valeurs des paramètres ont été choisi pour correspondre au mieux à une situation réelle où les proies sont de lièvres et les prédateurs de lynx (ça se passe au Canada je pense). Voici la situation sur un graphique

Il faut regarder la situation à partir de 1895 où il y a environ 85000 lièvres pour environ 50000 lynx. Evidemment la situation réelle est moins régulière que le modèle très simple présenté ici, mais les deux caractéristiques principales indépendantes des paramètres et reportées ci-dessus sont bien reproduites. Il faudrait d'une part enrichir le modèle et d'autre part mesurer les valeurs des paramètres (on donne une idée de la procédure ICI).

Une simple modification permet de traiter les modèles de type compétition. J'en discuterai au prochain post.

Voici pour terminer quelques documents.
ICI un document sur les modèles dynamiques des populations provenant de l'encyclopédie Universalis.
ICI un document d'un étudiant suisse sur l'historique des modèles de Lotka-Volterra.
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John Fitzgerald Kennedy]










23:34 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

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