08 février 2006

Prise de tête

En mars 2004, notre première voiture achetée 6 ans plus tôt devenait trop petite puisque notre famille s’agrandissait. En effet, notre second enfant allait naître en juillet. Notre choix s’est alors porté sur un petit monospace. Néanmoins, une caractéristique importante de ces véhicules et leur hauteur au niveau du coffre arrière. Comme notre porte de garage se fermait en restant rigide et en coulissant dans des rails horizontaux et verticaux, et comme la profondeur de notre garage n’était pas trop importante, cela posait une contrainte sur la hauteur maximale que notre future voiture pouvait avoir en fonction de sa longueur. Il ne fallait donc pas acheter n’importe quelle voiture au hasard, nous avions une restriction sur les dimensions.

 

Evidement, il y a une façon simple de tester si la voiture que nous envisagions d’acheter pouvait entrer dans le garage. Il suffit de prendre un bout de bois, par exemple, d’une hauteur correspondant à la hauteur du coffre arrière de la voiture et de le positionner à une distance du fond du garage correspondant à la longueur de la voiture. On n’a plus qu’à fermer la porte du garage (ou l’ouvrir) pour voir si elle touche le bout de bois, si ce n’est pas le cas, on peut alors acheter la voiture. Bon si on hésite entre beaucoup de voiture différente, faut se préparer à couper du bois !

 

Aimant les mathématiques, j’y ai vu l’occasion de jouer un peu et de résoudre ce problème qui doit être du niveau d’un étudiant du secondaire un an avant la terminale (en Belgique c’est la 5ème, mais en France je ne sais pas trop) puisqu’il faut pouvoir dériver une fonction pour trouver son minimum.

 

La situation est schématisée ci-dessous

On a donc un garage de profondeur L muni d’une porte rigide de hauteur d. On veut y placer une voiture de hauteur H au niveau du coffre arrière (H < d bien entendu, la voiture doit pouvoir entrer dans le garage) et de longueur l. Comme la porte s’ouvre en restant rigide, si la voiture est trop longue et/ou trop haute, le porte peut butter contre la voiture lors de son mouvement d’ouverture (et donc de fermeture), lorsqu’elle se trouve dans une position intermédiaire (voir position en bleu sur le schéma, les flèches indiquent le mouvement des roulettes de la porte dans les rails quand on ouvre la porte, les flèches sont inversées quand on ferme). Je pense que le problème est suffisamment simple que pour être bien posé.

 

Il est déjà clair à partir de ce dessin que si d - p > d (l’arrière de la voiture se trouve à une distance supérieure à d) alors, en plaçant la voiture tout au bout du garage, on peut toujours ouvrir la porte sans cogner la voiture quelque soit H (< d). [on verra plus bas pourquoi j’appelle la distance entre l’arrière de la voiture et la porte de garage dp]

 

Donc on ne rencontre éventuellement un problème que si l’arrière du véhicule se trouve sous la porte quand celle-ci est ouverte.

 

La question est donc : Pour chaque position x0, x1, etc. sous la porte lorsqu’elle est ouverte, quelle est la hauteur minimale entre le sol et la porte pendant son mouvement d’ouverture (ou de fermeture) ?

 

Poser la question c’est y répondre bien entendu.

 

On va d’abord caractériser la position de la porte de garage pendant son mouvement d’ouverture. On va ensuite déduire l’évolution de la hauteur entre le sol et la porte pour une position xi arbitraire. Il faudra alors trouver la hauteur minimale en dérivant cette fonction et ce sera terminé.

 

Pour caractériser la position de la porte, on place des axes sur le dessin ci-dessus :

La position de la porte sera caractérisée si on trouve l’équation de la droite (obtenue en prolongeant la porte) pour une position arbitraire de la porte. Prenons la position intermédiaire représentée en bleue sur le dessin ci-dessus. L’équation de la droite est

Où on a posé b = d e avec 0 < e < 1. Lorsque e = 0 la porte est fermée et lorsque e = 1 la porte est ouverte.

 

On doit maintenant utiliser l’information que la porte reste rigide durant son mouvement. Donc même en étant dans sa position intermédiaire, elle a toujours une longueur d. Le théorème de Pythagore nous dit que

Ce qui implique

L’équation de la droite s’écrit alors

Maintenant je choisi un point donné p sous la porte quand celle-ci est ouverte (les xi). Je dis que p = c d avec 0 < c < 1. Si c = 0, on a alors choisi le point à une distance d de la porte (quand elle est fermée) et si c = 1, on a alors choisi le point juste au niveau de la porte (c’est pour ça que j’appelle la distance entre l’arrière de la voiture et la porte d-p).

 

Pour connaitre l’évolution de la distance entre la porte et le sol au niveau du point p, il suffit de chercher l’intersection de la droite d’équation x = p avec l’équation de la droite représentant la porte puisque y nous donne cette hauteur. On a donc

Donc voilà ce qu’on a calculé : vous choisissez où vous vous placez sous votre porte de garage lorsqu’elle est ouverte, donc vous choisissez la position du point p. Sur le premier schéma on a clairement que l + d – p = L. Donc l – L + d = p = c d. Donc

L’équation donnant la hauteur h que nous venons d’obtenir donne en fait l’évolution de cette hauteur au point p lorsque la porte effectue son mouvement d’ouverture (0 < e < 1). Pour une position p donnée, c’est-à-dire pour un choix donné de c, nous devons encore déterminer la hauteur minimale. C’est une procédure standard, il suffit de calculer la dérivée de h par rapport à e et de chercher la valeur de e qui annule cette dérivée (cette procédure conduit également à la détermination d’un maximum, mais ici vu la fonction qu’on considère, on a clairement un seul minimum). Cette valeur de e  vaut

C’est pour cette valeur que la hauteur entre la porte et le sol est minimale. Ca correspond donc à la hauteur maximale que votre voiture peut avoir. On remplace donc cette expression de e dans l’expression de la hauteur pour finalement obtenir la hauteur maximale de la voiture en fonction de sa longueur

L et d sont des caractéristiques connues du garage.

 

Prenons de valeurs typiques. d = 2 mètres ; L = 5,5 mètres. Voici le graphe qu’on obtient

Si la voiture a une longueur de 4.05 mètres, la hauteur maximale sera de 1.85 mètre (on peut y mettre une Opel Mériva, notre voiture) alors que si la voiture a une longueur de 4.47 mètres, la hauteur maximale tombe à 1.57 mètre (on ne peut pas y mettre une Opel Zafira).

23:58 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

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