13 juin 2006

Le problème de la bouteille d’eau

Au centre où je travaille, ils ont installé un distributeur d’eau. C’est juste une machine reliée aux conduites d’eau (c’est de l’eau du robinet quoi), l’eau est peut-être filtrée, en tout cas la machine peut la refroidir ce qui est cool l’été. La semaine dernière, j’étais occupé à remplir ma bouteille d’un demi-litre, et j’observais l’eau monter jusqu’au goulot. Evidement, comme chacun peut le vérifier chez soi, quand l’eau se situe au niveau où la bouteille est cylindrique, l’eau monte à vitesse constante, mais quand on s’approche du goulot, l’eau monte plus rapidement puisque le débit d’eau provenant de la machine est constant au cours du temps.

 

Mais à qu’elle vitesse l'eau monte-t-elle dans la bouteille en fonction du temps, ou ce qui revient au même, en fonction de la hauteur ? Ca dépend bien entendu du profil de la bouteille. Si celle-ci est parfaitement cylindrique (une bouteille d’eau en plastique dont on a coupé la partie supérieure par exemple), l’eau monte à vitesse constante (la valeur sera précisée plus bas). Si le profil est plus compliqué, la réponse est moins évidente. Mais poser la question c’est y répondre !

 

Le volume d’eau qui sort de la machine à eau au cours du temps est donné par le débit de la machine à eau. Soit D ce débit qu’on supposera constant au cours du temps (en litre par seconde, ou ce qui est la même chose en dm3 par seconde), c’est en pratique ce qui se passe. Ce débit est une caractéristique de la machine et est une donnée du problème. On a donc

Mais ce volume est aussi égal au volume d’eau présent dans la bouteille.

  1. Bouteille cylindrique

Prenons pour commencer une bouteille cylindrique pour fixer les idées. Le volume occupé par l’eau dans la bouteille lorsque le niveau de l’eau a atteint une hauteur h est simplement

R est le rayon de la section de la bouteille cylindrique. Comme la quantité d’eau se conserve durant le remplissage (on n’en met pas a coté, et il n’y pas de fuite à la bouteille) ces deux volumes sont égaux et on a donc

La vitesse à laquelle le niveau supérieur de l’eau monte dans la bouteille est donc donné de façon générale par

Dans ce cas on trouve simplement

Donc dans le cas d’une bouteille cylindrique, la connaissance du rayon R (D est supposé connu) permet de connaître la vitesse à laquelle l’eau monte. Cette vitesse est constante au cours du temps, ou ce qui revient au même, cette vitesse est indépendante de la hauteur h(t).

  1. Profil quelconque

On va supposer que malgré que le profil puisse être quelconque, la bouteille est néanmoins caractérisée par une symétrie cylindrique, c’est-à-dire une symétrie de révolution par rapport à son axe vertical (quand elle est dans sa position normale)

L’axe passe bien entendu par le centre des disques dessinés par le goulot et la base de la bouteille.

 

Donc la forme de la bouteille est simplement définie par une coupe à deux dimensions qu’il suffit de la faire tourner autour de l’axe de symétrie pour dessiner le volume complet, c’est ce que j’appelle le profil de la bouteille. Voici un exemple de profil

Comme on l’a fait pour la bouteille cylindrique, ce qu’on doit faire dans ce cas général, c’est de calculer le volume d’eau présent dans la bouteille. Le profile est donné par (voir graphique ci-dessus)

f-1 est la fonction inverse de f. Donc on voit que la variable z varie entre 0 et h(t). Et la variable r varie entre

Ceci est suffisant pour calculer la surface hachurée sur le schéma ci-dessus. Pour calculer le volume on doit faire tourner cette surface ce qui revient à multiplier par deux pi. Le calcul du volume requiert donc l’évaluation de l’intégrale triple suivante

La variable thêta est l’angle des coordonnées cylindriques qui nous sert ici à faire la rotation autour de l’axe z, il varie donc entre 0 et deux pi. Deux des trois intégrales peuvent se calculer et on obtient

Où j’ai déjà égalisé les deux volumes comme pour la bouteille cylindrique.

 

Maintenant, nous sommes intéressés par la vitesse à laquelle l’eau monte dans la bouteille. Si on veut cette vitesse en fonction du temps, on doit d’abord calculer h(t) comme suit

On doit donc inverser la fonction qui donne le volume d’eau dans la bouteille. Ensuite on doit simplement calculer

En pratique cette inversion de fonction peut être compliquée comme on le verra sur un exemple. Par contre si on veut l’expression de la vitesse en fonction de la hauteur, c’est beaucoup plus simple. Il suffit de dériver par rapport au temps les deux membres de l’expression (*), on obtient

Il faut juste connaître l’inverse de la fonction f ce qui est beaucoup plus simple si le profil n’est pas trop compliqué.

  1. Exemple

Nous allons choisir un flacon très simple : l’erlenmeyer. Même si le nom ne vous est pas familier, vous avez tous vu cette fiole au moins une fois.

Grâce à ce schéma, il n’est pas très difficile de déterminer l’équation du profil, puisque le profil est une droite (on ne considère que la montée du liquide jusqu’à une hauteur maximale égale à H, puisqu’ensuite on se retrouve dans le cas du flacon cylindrique). On a donc

Et donc l’inversion ne pose aucun problème

Et donc en appliquant la formule générale (**), on obtient finalement

Où j’ai utilisé la vitesse indicée 0 qui serait la vitesse de la montée de l’eau dans un flacon cylindrique ayant un rayon identique à celui de la base de l’erlenmeyer. Pourquoi faire cela? Car ainsi, je peux comparer les deux vitesses et faire un graphique de leur rapport. Dans ce cas seul le dénominateur (qui est sans dimension) entre en jeu et je ne dois pas donner de valeur au débit. De plus, je vais pouvoir faire un graphique en fonction du rapport h/H, je ne dois donc pas donner de valeur à H. Et enfin seul importe le rapport des deux rayons. Sur le graphique ci-dessous je considère deux rapports 1/3 et 1/4 (R*/R). Donc dans le cas 1/3, la vitesse est 9 fois plus importante arrivée à la hauteur H qu’au départ (et 16 fois dans le cas 1/4), mais ça c’était facile à deviner car il faut bien que la vitesse coïncide avec celle qu’aura le niveau supérieur de l’eau dans le goulot cylindrique de l’erlenmeyer.

Remarque : dans cet exemple, il est déjà « compliqué » de calculer l’expression de la vitesse en fonction du temps, on doit résoudre une équation du troisième degré. Bien qu’il existe une formule explicite, c’est déjà moins intéressant, surtout pour un billet de blog. (un profil parabolique, mais moins réaliste donc, permet de faire tous les calculs très simplement jusqu’au bout). Ha bon vous avez tout lu ? C'est courageux  

22:36 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (2)

Commentaires

Il s'agit vraiment d'une belle démonstration !

Écrit par : Physicien | 02 février 2013

Merci beaucoup pour ce commentaire Physicien :) .

Écrit par : Genorb | 02 février 2013

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