27 décembre 2005

Streamer

Je vais essayer de parler un peu de mon boulot et d’en expliquer les grandes lignes. Mon travail consiste à modéliser l’évolution de la forme d’un streamer au cours du temps. Il y a deux manières utilisées dans notre groupe pour modéliser cet objet : le modèle hydrodynamique minimal et le « free boundary model ». Donc je dois commencer par expliquer ce qu’est un streamer. Ensuite présenter brièvement les deux modèles théoriques. Je travaille sur le second modèle et j’ai récemment montré un lien avec le premier modèle.

        I. Streamer : kesako ?

Un streamer est un précurseur des décharges électriques comme les arcs électriques ou les éclairs. Il crée un canal ionisé, avec éventuellement des branchements, où la décharge va pouvoir prendre place. Les différences entre un streamer et un arc ou un éclair sont entre autres qu’il y a moins de courant transporté dans un streamer, le gaz ionisé (plasma) formé n’est pas en équilibre thermique, il y a tout simplement moins d’énergie mise en jeu dans l’évolution d’un streamer. En laboratoire, on voit difficilement le streamer entre les électrodes et on n’entend rien, alors que pour un arc, on le voit clairement et on l’entend (on a tous entendu ce bruit dans notre vie).

Comment un streamer apparait-il en laboratoire ? On prend simplement un tube à décharge en verre (pour pouvoir observer) dans lequel se trouvent une anode et une cathode. Voici un schéma




Voici à quoi ressemble un tube à décharge moderne (c’est celui de notre labo, et ici une des électrodes est une pointe).



Dans le tube se trouve un gaz quelconque (air, azote, gaz noble) à une pression au choix. On applique un champ électrique constant entre les électrodes. Dans le gaz il y a toujours des charges électriques élémentaires (électrons) à l’état libre. Elles proviennent des atomes neutres qui sont ionisés par les rayons cosmiques ou la radioactivité naturelle. Suivons un de ces électrons. Il est accéléré par le champ électrique et entre éventuellement en collision avec un atome (ou molécule) neutre. Si son énergie n’est pas suffisante pour ioniser l’atome, l’électron est simplement diffusé. Il perd de l’énergie suite à cette collision mais en regagne de suite grâce à la présence du champ électrique. Après un certain temps, si le champ électrique est suffisamment important, l’électron aura assez d’énergie pour ioniser un atome neutre. Nous avons alors deux électrons. Ceux-ci vont de nouveau être accélérés par le champ pour ioniser d’autres atomes et libérer d’autres électrons : une avalanche d’électrons est ainsi formée. Voici un schéma


La dynamique de cet ensemble d’électrons est relativement complexe. De cette avalanche d’électrons va émerger ce que l’on nomme un streamer. Ce dernier est caractérisé par une organisation des charges positives et négatives en présence telle que la charge nette est repartie en une fine couche. Sur le graphique ci-dessous vous pouvez voir la répartition de la densité d’électron, de la densité d’ion, la valeur du champ électrique généré par le streamer lui-même (ce champs est essentiellement nul dans la phase d’avalanche, c’est aussi une caractéristique importante de la phase streamer) et enfin la répartition de la charge nette.



Pour en savoir un peu plus voici un lien intéressant.

        II. Modèle hydrodynamique

Dans ce modèle minimal qui ne décrit que la partie négative du streamer (dynamique des électrons), on a trois équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées.



Ce modèle est donc extrêmement compliqué à résoudre. Une méthode particulière a été développée dans la thèse de Carolynne (une de nos thésardes, voir billet précédent). En effet, il y a beaucoup d’échelles différentes dans ce problème. Premièrement, la zone dans laquelle le streamer se propage (l’écart entre les électrodes varie entre 4 et 8 cm dans notre labo). Deuxièmement, la taille du streamer (l’écart entre les charges positives et négatives varie au cours du temps, sur la figure plus haut la taille est de 1 millimètre). Enfin, il y a l’épaisseur de la fine couche de charge nette, une dizaine de micromètre sur la même figure. Il faut donc pouvoir raffiner les calculs là où c’est nécessaire. Ces équations sont traitées numériquement sur une grille (on discrétise les équations). Une méthode basée sur une grille adaptative, où on peut zoomer là où c’est nécessaire, a dû être développée. C’est essentiellement la thèse de Carolynne.

Ce modèle prédit les branchements observés expérimentalement. Tout le monde a déjà vu les ramifications présentes dans les éclairs. Voici un exemple de branchement pour un streamer de notre labo (la caméra amplifie la luminosité du signal, ce streamer est pratiquement invisible à l’œil nu)


En effet, après un certain temps la structure calculée numériquement devient instable et des branchements apparaissent. Voici un exemple concernant la densité d’électron


C’est aussi pour cela qu’une méthode numérique puissante est nécessaire pour résoudre ces équations car quand cette structure apparait sur les bords du streamer, il faut une grille suffisamment fine pour avoir une résolution suffisante pour la décrire correctement.

        III. Free boundary model

Ce type de formalisme permet de décrire une très large classe de problèmes. Ces problèmes sont caractérisés par l’existence d’une frontière entre deux domaines qui est a priori inconnue. Le but est donc de trouver cette frontière et de connaitre son évolution au cours du temps. Ce type de problème se rencontre par exemple dans : l’étude de la forme de l’interface entre deux liquides non miscibles (eau et huile par exemple) lorsque l’un d’eux pénètre dans l’autre (mots-clés google : Saffman-Taylor, Hele-Shaw, finger) ; l’étude de la croissance des cristaux et la formation de dendrites ; l’étude la propagation du front de solidification dans un liquide caractérisé par une température inférieure à sa température de solidification (mots-clés google : directional solidification) ; étude du contour d’une colonie de bactérie etc.

Pour les streamers, le contour est simplement la distribution de charge nette qui sépare deux domaines : l’intérieur où le champ électrique est essentiellement nul (voir figure plus haut) [l’intérieur d’un streamer se comporte donc comme un conducteur] et l’extérieur qui est une région sans charge électrique décrite par l’équation de Laplace. Je passe évidemment les détails qui sont trop technique pour être décrits ici.

Le résultat intéressant que j’ai obtenu avant noël est un lien entre le modèle hydrodynamique et le free boundary model. En effet, à l’instar de
Lola, moi aussi j’ai un graphe qui déchire sa race. On peut voir la distribution de charge nette (la même que celle plus haut) qui provient de la résolution numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées et une courbe bleue qui provient du modèle (free boundary) que j’étudie. Elle n’est pas belle ma solution ? Et en plus c’est analytique. L’expression est relativement simple…


Qui a dit que les ordinateurs étaient indispensables ? Un cerveau qui fonctionne assez bien ce n’est pas mal non plus non :) ?

15:34 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

05 septembre 2005

Sphinx du Troène

Hier ma voisine (voir épisode du poisson rouge) a trouvé dans son jardin une chenille d'environ 6-7cm. J'en avais jamais vu de comme ça, mais je dois bien avouer que je n'ai jamais réellement cherché.





Belle bête n'est-ce-pas?

Après quelques recherches sur internet, j'ai remarqué que les chenilles des papillons Sphinx avaient très souvent cette queue très prononcée. J'ai d'abord pensé au Sphinx colibri (ou encore appelé
Sphinx du Liseron) puisqu'il y en a pas mal chez nous, mais non ce n'est pas ça du tout comme vous pouvez le constater



J'ai alors pensé au Sphinx tête de mort (oui j'ai trop regardé le silence des agneaux). Mais ce n'est pas ça non plus comme vous le constatez


Finalement c'est encore mon ami Google qui m'a aidé puisqu'une simple recherche avec les mots clefs "sphinx" et "chenille" a suffit pour dénicher le nom de la bête (3ème lien seulement). C'est un Sphinx du troène (le troène est une espèce d'arbre). Pas très très joli (moins que la chenille je trouve), jugez vous-même



 

10:04 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

03 septembre 2005

La quête du Graal

Est-on condamné à vieillir ?

Peut-être pas…  (PDF sur la droite)


12:36 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

29 août 2005

Conférences

Si les conférences "grand public" sur des thèmes aussi variés que

  1. Les sciences de la vie
  2. Les sciences de l'homme
  3. Science et société
  4. Sciences physiques
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  6. Histoires des sciences
vous intéressent, alors ce site est pour vous. Vous y trouverez 350 conférences en ligne.

20:56 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (3)

07 août 2005

Modèles dynamiques de population (III)

Dans le post du 17 juillet, j'expliquais comment on pouvait prendre en compte la limitation des ressources; cela entraînait donc une limite dans la croissance de la population. L'étape suivante dans la modélisation dynamique des populations est de tenir compte de l'interaction entre différentes espèces. Nous avons déjà vu comment modéliser l'interaction entre deux membres d'une même espèce à l'aide d'un terme quadratique. Le terme d'interaction entre deux membres d'espèces différentes sera du même type. Les modèles présentés dans ce post sont l'oeuvre de Alfred James Lotka (1880-1949) (voir ICI et ICI pour de brèves biographies) et de Vito Volterra (1860-1940) (voir ICI et ICI pour de brèves biographies). Il s'agit de modèles proie-prédateur ou de modèles de compétitions.

Un modèle proie-prédateur, est un modèle où, dans sa version la plus simple, on considère deux espèces dont l'une est mangée par l'autre. Les proies n'ont qu'un seul prédateur et se développeraient "indéfiniment" si les prédateurs n'étaient pas présents. Les prédateurs quant à eux n'ont aucun prédateur mais ne peuvent survivre sans les proies.

Un modèle de compétitions, est un modèle où, dans sa version la plus simple, on considère deux espèces qui sont en compétition pour se nourrir (par exemple des lapins et des moutons en compétition pour manger les ressources d'une île ou d'une réserve).

Construisons le modèle proie-prédateur le plus simple. Comme pour le cas d'une seule espèce, le modèle le plus simple est celui où on ne suppose qu'il n'y a pas de limite des ressources due à la surpopulation (voir post du 9 juillet). On appellera X(t) la population des proies et Y(t) la population des prédateurs. Occupons-nous d'abord de l'évolution de la population des proies, . S'il n'y avait pas de prédateurs, la population évoluerait en suivant la loi (rappelons qu'on suppose que le paramètre q vaut 0 pour chaque espèce). On suppose ici que la population des proies grandit s'il n'y a pas de prédateurs. L'interaction entre les proies et les prédateurs conduit à une diminution de la population des proies; il s'agira donc d'un terme négatif quadratique du type -A X(t) Y(t). Le paramètre A mesure en quelque sorte l'efficacité avec laquelle les prédateurs attrapent les proies. Le bilan donne donc l'évolution de la population des proies


Il nous reste maintenant à déterminer l'évolution de la population des prédateurs. Contrairement aux proies, on suppose que les prédateurs ne peuvent survivre sans les proies et que leur population suit la loi . Le paramètre présent dans cette loi est positif (comme tous les paramètres des modèles présentés ici, c'est une convention), on a donc une décroissance exponentielle. Les prédateurs survivent uniquement grâce à leur interaction avec les proies. Ce terme d'interaction sera donc positif et quadratique du type A B X(t) Y(t), où le paramètre B mesure l'efficacité avec laquelle la consommation de proie permet d'augmenter la population des prédateurs, de générer des naissances (0 < B < 1). Le bilan donne donc l'évolution de la population des prédateurs


On a donc cette fois un système d'équations couplées, car la population Y(t) des prédateurs intervient dans l'évolution de la population des proies et inversement.

On peut maintenant s'intéresser aux valeurs de X(t) et Y(t) qui annulent les dérivées premières; ce sont les points d'équilibres. Il y a le point X(t) = Y(t) = 0. Cependant une analyse un peu plus poussée (je passe ici les détails) montre que ce point est instable (saddle point). Donc le système ne tendra pas vers ce point. L'autre point est  et . De nouveau une analyse un peu plus poussée montre que dans ce cas le système ne va pas tendre vers cette valeur (comme c'était le cas pour le modèle de Verhulst), mais le système va osciller autour de ces valeurs "moyennes".

Pour les valeurs suivantes des paramètres A = 0.013, B = 0.5, , et des populations initiales X(0) = 85 et Y(0) = 50, on obtient le graphique suivant

La courbe bleue représente la population des proies et la courbes rouge représente la population des prédateurs. Les courbes en pointillé représentent les valeurs "moyennes" calculées plus haut. Les point importants qui ne dépendent pas des valeurs particulières des paramètres est que d'une part on a un comportement cyclique et que d'autre part le maximum de la population des proies précèdent toujours celui des prédateurs. Les valeurs des paramètres ont été choisi pour correspondre au mieux à une situation réelle où les proies sont de lièvres et les prédateurs de lynx (ça se passe au Canada je pense). Voici la situation sur un graphique

Il faut regarder la situation à partir de 1895 où il y a environ 85000 lièvres pour environ 50000 lynx. Evidemment la situation réelle est moins régulière que le modèle très simple présenté ici, mais les deux caractéristiques principales indépendantes des paramètres et reportées ci-dessus sont bien reproduites. Il faudrait d'une part enrichir le modèle et d'autre part mesurer les valeurs des paramètres (on donne une idée de la procédure ICI).

Une simple modification permet de traiter les modèles de type compétition. J'en discuterai au prochain post.

Voici pour terminer quelques documents.
ICI un document sur les modèles dynamiques des populations provenant de l'encyclopédie Universalis.
ICI un document d'un étudiant suisse sur l'historique des modèles de Lotka-Volterra.
[Le meilleur temps pour réparer sa toiture, c'est lorsque le soleil brille.
John Fitzgerald Kennedy]










23:34 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)