02 novembre 2010

Des bosses et des fosses

Avec un peu de chance j'aurai bientôt le temps de vous parler de ceci:

cnrs.jpg


21:29 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (1)

13 juin 2006

Le problème de la bouteille d’eau

Au centre où je travaille, ils ont installé un distributeur d’eau. C’est juste une machine reliée aux conduites d’eau (c’est de l’eau du robinet quoi), l’eau est peut-être filtrée, en tout cas la machine peut la refroidir ce qui est cool l’été. La semaine dernière, j’étais occupé à remplir ma bouteille d’un demi-litre, et j’observais l’eau monter jusqu’au goulot. Evidement, comme chacun peut le vérifier chez soi, quand l’eau se situe au niveau où la bouteille est cylindrique, l’eau monte à vitesse constante, mais quand on s’approche du goulot, l’eau monte plus rapidement puisque le débit d’eau provenant de la machine est constant au cours du temps.

 

Mais à qu’elle vitesse l'eau monte-t-elle dans la bouteille en fonction du temps, ou ce qui revient au même, en fonction de la hauteur ? Ca dépend bien entendu du profil de la bouteille. Si celle-ci est parfaitement cylindrique (une bouteille d’eau en plastique dont on a coupé la partie supérieure par exemple), l’eau monte à vitesse constante (la valeur sera précisée plus bas). Si le profil est plus compliqué, la réponse est moins évidente. Mais poser la question c’est y répondre !

 

Le volume d’eau qui sort de la machine à eau au cours du temps est donné par le débit de la machine à eau. Soit D ce débit qu’on supposera constant au cours du temps (en litre par seconde, ou ce qui est la même chose en dm3 par seconde), c’est en pratique ce qui se passe. Ce débit est une caractéristique de la machine et est une donnée du problème. On a donc

Mais ce volume est aussi égal au volume d’eau présent dans la bouteille.

  1. Bouteille cylindrique

Prenons pour commencer une bouteille cylindrique pour fixer les idées. Le volume occupé par l’eau dans la bouteille lorsque le niveau de l’eau a atteint une hauteur h est simplement

R est le rayon de la section de la bouteille cylindrique. Comme la quantité d’eau se conserve durant le remplissage (on n’en met pas a coté, et il n’y pas de fuite à la bouteille) ces deux volumes sont égaux et on a donc

La vitesse à laquelle le niveau supérieur de l’eau monte dans la bouteille est donc donné de façon générale par

Dans ce cas on trouve simplement

Donc dans le cas d’une bouteille cylindrique, la connaissance du rayon R (D est supposé connu) permet de connaître la vitesse à laquelle l’eau monte. Cette vitesse est constante au cours du temps, ou ce qui revient au même, cette vitesse est indépendante de la hauteur h(t).

  1. Profil quelconque

On va supposer que malgré que le profil puisse être quelconque, la bouteille est néanmoins caractérisée par une symétrie cylindrique, c’est-à-dire une symétrie de révolution par rapport à son axe vertical (quand elle est dans sa position normale)

L’axe passe bien entendu par le centre des disques dessinés par le goulot et la base de la bouteille.

 

Donc la forme de la bouteille est simplement définie par une coupe à deux dimensions qu’il suffit de la faire tourner autour de l’axe de symétrie pour dessiner le volume complet, c’est ce que j’appelle le profil de la bouteille. Voici un exemple de profil

Comme on l’a fait pour la bouteille cylindrique, ce qu’on doit faire dans ce cas général, c’est de calculer le volume d’eau présent dans la bouteille. Le profile est donné par (voir graphique ci-dessus)

f-1 est la fonction inverse de f. Donc on voit que la variable z varie entre 0 et h(t). Et la variable r varie entre

Ceci est suffisant pour calculer la surface hachurée sur le schéma ci-dessus. Pour calculer le volume on doit faire tourner cette surface ce qui revient à multiplier par deux pi. Le calcul du volume requiert donc l’évaluation de l’intégrale triple suivante

La variable thêta est l’angle des coordonnées cylindriques qui nous sert ici à faire la rotation autour de l’axe z, il varie donc entre 0 et deux pi. Deux des trois intégrales peuvent se calculer et on obtient

Où j’ai déjà égalisé les deux volumes comme pour la bouteille cylindrique.

 

Maintenant, nous sommes intéressés par la vitesse à laquelle l’eau monte dans la bouteille. Si on veut cette vitesse en fonction du temps, on doit d’abord calculer h(t) comme suit

On doit donc inverser la fonction qui donne le volume d’eau dans la bouteille. Ensuite on doit simplement calculer

En pratique cette inversion de fonction peut être compliquée comme on le verra sur un exemple. Par contre si on veut l’expression de la vitesse en fonction de la hauteur, c’est beaucoup plus simple. Il suffit de dériver par rapport au temps les deux membres de l’expression (*), on obtient

Il faut juste connaître l’inverse de la fonction f ce qui est beaucoup plus simple si le profil n’est pas trop compliqué.

  1. Exemple

Nous allons choisir un flacon très simple : l’erlenmeyer. Même si le nom ne vous est pas familier, vous avez tous vu cette fiole au moins une fois.

Grâce à ce schéma, il n’est pas très difficile de déterminer l’équation du profil, puisque le profil est une droite (on ne considère que la montée du liquide jusqu’à une hauteur maximale égale à H, puisqu’ensuite on se retrouve dans le cas du flacon cylindrique). On a donc

Et donc l’inversion ne pose aucun problème

Et donc en appliquant la formule générale (**), on obtient finalement

Où j’ai utilisé la vitesse indicée 0 qui serait la vitesse de la montée de l’eau dans un flacon cylindrique ayant un rayon identique à celui de la base de l’erlenmeyer. Pourquoi faire cela? Car ainsi, je peux comparer les deux vitesses et faire un graphique de leur rapport. Dans ce cas seul le dénominateur (qui est sans dimension) entre en jeu et je ne dois pas donner de valeur au débit. De plus, je vais pouvoir faire un graphique en fonction du rapport h/H, je ne dois donc pas donner de valeur à H. Et enfin seul importe le rapport des deux rayons. Sur le graphique ci-dessous je considère deux rapports 1/3 et 1/4 (R*/R). Donc dans le cas 1/3, la vitesse est 9 fois plus importante arrivée à la hauteur H qu’au départ (et 16 fois dans le cas 1/4), mais ça c’était facile à deviner car il faut bien que la vitesse coïncide avec celle qu’aura le niveau supérieur de l’eau dans le goulot cylindrique de l’erlenmeyer.

Remarque : dans cet exemple, il est déjà « compliqué » de calculer l’expression de la vitesse en fonction du temps, on doit résoudre une équation du troisième degré. Bien qu’il existe une formule explicite, c’est déjà moins intéressant, surtout pour un billet de blog. (un profil parabolique, mais moins réaliste donc, permet de faire tous les calculs très simplement jusqu’au bout). Ha bon vous avez tout lu ? C'est courageux  

22:36 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (2)

10 juin 2006

Coelacanthe

J’ai presque manqué le très bon numéro de Thalassa de cette semaine. Je ne regarde essentiellement jamais, mais cette fois c’était intéressant (du moins à mon goût). On y parlait des « Rescapés de la Préhistoire ». J’ai presque tout raté (pour raison de retrouvailles hebdomadaires avec ma femme ) mais j’ai quand même vu le passage consacré au coelacanthe (prononcer sélacante). Belle bête je dois dire.

 

 

Paraît que la chaire est trop grasse pour être appréciée, c’est sans doute une des raisons (peut-être mineure) qui fait qu’il est toujours en vie le bestiau.

 

Enfin si vous voulez en savoir plus sur ce sympathique animal  (n’est-ce pas ? ) Voici quelques liens (en plus de celui lié à la photo)

 

Coelacanthe 1

 

Coelacanthe 2

 

Coelacanthe 3

 

Autre chose pour terminer, si vous aimez les blogs et la Science, Scienceblogs est pour vous.

00:21 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

07 avril 2006

Quantum

Voilà comme promis un billet sur un peu de mécanique quantique (colonne de gauche). Enfin, c'est en fait un lien vers une page extérieure où je vais dorénavant mettre ce qui est un peu plus matheux. Cependant c'est en anglais, mais de toute façon ça n'interresera pas grand monde (c'est aussi un peu pour ça que c'est en anglais, un plus large public potentiel...).

Je vais aussi bientôt parler d'un modèle décrivant l'évolution d'une colonie d'Aliens. Et oui faut bien passer le temps dans le train entre Bruxelles et Amsterdam (et deux fois par semaine).

20:38 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (1)

08 février 2006

Prise de tête

En mars 2004, notre première voiture achetée 6 ans plus tôt devenait trop petite puisque notre famille s’agrandissait. En effet, notre second enfant allait naître en juillet. Notre choix s’est alors porté sur un petit monospace. Néanmoins, une caractéristique importante de ces véhicules et leur hauteur au niveau du coffre arrière. Comme notre porte de garage se fermait en restant rigide et en coulissant dans des rails horizontaux et verticaux, et comme la profondeur de notre garage n’était pas trop importante, cela posait une contrainte sur la hauteur maximale que notre future voiture pouvait avoir en fonction de sa longueur. Il ne fallait donc pas acheter n’importe quelle voiture au hasard, nous avions une restriction sur les dimensions.

 

Evidement, il y a une façon simple de tester si la voiture que nous envisagions d’acheter pouvait entrer dans le garage. Il suffit de prendre un bout de bois, par exemple, d’une hauteur correspondant à la hauteur du coffre arrière de la voiture et de le positionner à une distance du fond du garage correspondant à la longueur de la voiture. On n’a plus qu’à fermer la porte du garage (ou l’ouvrir) pour voir si elle touche le bout de bois, si ce n’est pas le cas, on peut alors acheter la voiture. Bon si on hésite entre beaucoup de voiture différente, faut se préparer à couper du bois !

 

Aimant les mathématiques, j’y ai vu l’occasion de jouer un peu et de résoudre ce problème qui doit être du niveau d’un étudiant du secondaire un an avant la terminale (en Belgique c’est la 5ème, mais en France je ne sais pas trop) puisqu’il faut pouvoir dériver une fonction pour trouver son minimum.

 

La situation est schématisée ci-dessous

On a donc un garage de profondeur L muni d’une porte rigide de hauteur d. On veut y placer une voiture de hauteur H au niveau du coffre arrière (H < d bien entendu, la voiture doit pouvoir entrer dans le garage) et de longueur l. Comme la porte s’ouvre en restant rigide, si la voiture est trop longue et/ou trop haute, le porte peut butter contre la voiture lors de son mouvement d’ouverture (et donc de fermeture), lorsqu’elle se trouve dans une position intermédiaire (voir position en bleu sur le schéma, les flèches indiquent le mouvement des roulettes de la porte dans les rails quand on ouvre la porte, les flèches sont inversées quand on ferme). Je pense que le problème est suffisamment simple que pour être bien posé.

 

Il est déjà clair à partir de ce dessin que si d - p > d (l’arrière de la voiture se trouve à une distance supérieure à d) alors, en plaçant la voiture tout au bout du garage, on peut toujours ouvrir la porte sans cogner la voiture quelque soit H (< d). [on verra plus bas pourquoi j’appelle la distance entre l’arrière de la voiture et la porte de garage dp]

 

Donc on ne rencontre éventuellement un problème que si l’arrière du véhicule se trouve sous la porte quand celle-ci est ouverte.

 

La question est donc : Pour chaque position x0, x1, etc. sous la porte lorsqu’elle est ouverte, quelle est la hauteur minimale entre le sol et la porte pendant son mouvement d’ouverture (ou de fermeture) ?

 

Poser la question c’est y répondre bien entendu.

 

On va d’abord caractériser la position de la porte de garage pendant son mouvement d’ouverture. On va ensuite déduire l’évolution de la hauteur entre le sol et la porte pour une position xi arbitraire. Il faudra alors trouver la hauteur minimale en dérivant cette fonction et ce sera terminé.

 

Pour caractériser la position de la porte, on place des axes sur le dessin ci-dessus :

La position de la porte sera caractérisée si on trouve l’équation de la droite (obtenue en prolongeant la porte) pour une position arbitraire de la porte. Prenons la position intermédiaire représentée en bleue sur le dessin ci-dessus. L’équation de la droite est

Où on a posé b = d e avec 0 < e < 1. Lorsque e = 0 la porte est fermée et lorsque e = 1 la porte est ouverte.

 

On doit maintenant utiliser l’information que la porte reste rigide durant son mouvement. Donc même en étant dans sa position intermédiaire, elle a toujours une longueur d. Le théorème de Pythagore nous dit que

Ce qui implique

L’équation de la droite s’écrit alors

Maintenant je choisi un point donné p sous la porte quand celle-ci est ouverte (les xi). Je dis que p = c d avec 0 < c < 1. Si c = 0, on a alors choisi le point à une distance d de la porte (quand elle est fermée) et si c = 1, on a alors choisi le point juste au niveau de la porte (c’est pour ça que j’appelle la distance entre l’arrière de la voiture et la porte d-p).

 

Pour connaitre l’évolution de la distance entre la porte et le sol au niveau du point p, il suffit de chercher l’intersection de la droite d’équation x = p avec l’équation de la droite représentant la porte puisque y nous donne cette hauteur. On a donc

Donc voilà ce qu’on a calculé : vous choisissez où vous vous placez sous votre porte de garage lorsqu’elle est ouverte, donc vous choisissez la position du point p. Sur le premier schéma on a clairement que l + d – p = L. Donc l – L + d = p = c d. Donc

L’équation donnant la hauteur h que nous venons d’obtenir donne en fait l’évolution de cette hauteur au point p lorsque la porte effectue son mouvement d’ouverture (0 < e < 1). Pour une position p donnée, c’est-à-dire pour un choix donné de c, nous devons encore déterminer la hauteur minimale. C’est une procédure standard, il suffit de calculer la dérivée de h par rapport à e et de chercher la valeur de e qui annule cette dérivée (cette procédure conduit également à la détermination d’un maximum, mais ici vu la fonction qu’on considère, on a clairement un seul minimum). Cette valeur de e  vaut

C’est pour cette valeur que la hauteur entre la porte et le sol est minimale. Ca correspond donc à la hauteur maximale que votre voiture peut avoir. On remplace donc cette expression de e dans l’expression de la hauteur pour finalement obtenir la hauteur maximale de la voiture en fonction de sa longueur

L et d sont des caractéristiques connues du garage.

 

Prenons de valeurs typiques. d = 2 mètres ; L = 5,5 mètres. Voici le graphe qu’on obtient

Si la voiture a une longueur de 4.05 mètres, la hauteur maximale sera de 1.85 mètre (on peut y mettre une Opel Mériva, notre voiture) alors que si la voiture a une longueur de 4.47 mètres, la hauteur maximale tombe à 1.57 mètre (on ne peut pas y mettre une Opel Zafira).

23:58 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

27 décembre 2005

Streamer

Je vais essayer de parler un peu de mon boulot et d’en expliquer les grandes lignes. Mon travail consiste à modéliser l’évolution de la forme d’un streamer au cours du temps. Il y a deux manières utilisées dans notre groupe pour modéliser cet objet : le modèle hydrodynamique minimal et le « free boundary model ». Donc je dois commencer par expliquer ce qu’est un streamer. Ensuite présenter brièvement les deux modèles théoriques. Je travaille sur le second modèle et j’ai récemment montré un lien avec le premier modèle.

        I. Streamer : kesako ?

Un streamer est un précurseur des décharges électriques comme les arcs électriques ou les éclairs. Il crée un canal ionisé, avec éventuellement des branchements, où la décharge va pouvoir prendre place. Les différences entre un streamer et un arc ou un éclair sont entre autres qu’il y a moins de courant transporté dans un streamer, le gaz ionisé (plasma) formé n’est pas en équilibre thermique, il y a tout simplement moins d’énergie mise en jeu dans l’évolution d’un streamer. En laboratoire, on voit difficilement le streamer entre les électrodes et on n’entend rien, alors que pour un arc, on le voit clairement et on l’entend (on a tous entendu ce bruit dans notre vie).

Comment un streamer apparait-il en laboratoire ? On prend simplement un tube à décharge en verre (pour pouvoir observer) dans lequel se trouvent une anode et une cathode. Voici un schéma




Voici à quoi ressemble un tube à décharge moderne (c’est celui de notre labo, et ici une des électrodes est une pointe).



Dans le tube se trouve un gaz quelconque (air, azote, gaz noble) à une pression au choix. On applique un champ électrique constant entre les électrodes. Dans le gaz il y a toujours des charges électriques élémentaires (électrons) à l’état libre. Elles proviennent des atomes neutres qui sont ionisés par les rayons cosmiques ou la radioactivité naturelle. Suivons un de ces électrons. Il est accéléré par le champ électrique et entre éventuellement en collision avec un atome (ou molécule) neutre. Si son énergie n’est pas suffisante pour ioniser l’atome, l’électron est simplement diffusé. Il perd de l’énergie suite à cette collision mais en regagne de suite grâce à la présence du champ électrique. Après un certain temps, si le champ électrique est suffisamment important, l’électron aura assez d’énergie pour ioniser un atome neutre. Nous avons alors deux électrons. Ceux-ci vont de nouveau être accélérés par le champ pour ioniser d’autres atomes et libérer d’autres électrons : une avalanche d’électrons est ainsi formée. Voici un schéma


La dynamique de cet ensemble d’électrons est relativement complexe. De cette avalanche d’électrons va émerger ce que l’on nomme un streamer. Ce dernier est caractérisé par une organisation des charges positives et négatives en présence telle que la charge nette est repartie en une fine couche. Sur le graphique ci-dessous vous pouvez voir la répartition de la densité d’électron, de la densité d’ion, la valeur du champ électrique généré par le streamer lui-même (ce champs est essentiellement nul dans la phase d’avalanche, c’est aussi une caractéristique importante de la phase streamer) et enfin la répartition de la charge nette.



Pour en savoir un peu plus voici un lien intéressant.

        II. Modèle hydrodynamique

Dans ce modèle minimal qui ne décrit que la partie négative du streamer (dynamique des électrons), on a trois équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées.



Ce modèle est donc extrêmement compliqué à résoudre. Une méthode particulière a été développée dans la thèse de Carolynne (une de nos thésardes, voir billet précédent). En effet, il y a beaucoup d’échelles différentes dans ce problème. Premièrement, la zone dans laquelle le streamer se propage (l’écart entre les électrodes varie entre 4 et 8 cm dans notre labo). Deuxièmement, la taille du streamer (l’écart entre les charges positives et négatives varie au cours du temps, sur la figure plus haut la taille est de 1 millimètre). Enfin, il y a l’épaisseur de la fine couche de charge nette, une dizaine de micromètre sur la même figure. Il faut donc pouvoir raffiner les calculs là où c’est nécessaire. Ces équations sont traitées numériquement sur une grille (on discrétise les équations). Une méthode basée sur une grille adaptative, où on peut zoomer là où c’est nécessaire, a dû être développée. C’est essentiellement la thèse de Carolynne.

Ce modèle prédit les branchements observés expérimentalement. Tout le monde a déjà vu les ramifications présentes dans les éclairs. Voici un exemple de branchement pour un streamer de notre labo (la caméra amplifie la luminosité du signal, ce streamer est pratiquement invisible à l’œil nu)


En effet, après un certain temps la structure calculée numériquement devient instable et des branchements apparaissent. Voici un exemple concernant la densité d’électron


C’est aussi pour cela qu’une méthode numérique puissante est nécessaire pour résoudre ces équations car quand cette structure apparait sur les bords du streamer, il faut une grille suffisamment fine pour avoir une résolution suffisante pour la décrire correctement.

        III. Free boundary model

Ce type de formalisme permet de décrire une très large classe de problèmes. Ces problèmes sont caractérisés par l’existence d’une frontière entre deux domaines qui est a priori inconnue. Le but est donc de trouver cette frontière et de connaitre son évolution au cours du temps. Ce type de problème se rencontre par exemple dans : l’étude de la forme de l’interface entre deux liquides non miscibles (eau et huile par exemple) lorsque l’un d’eux pénètre dans l’autre (mots-clés google : Saffman-Taylor, Hele-Shaw, finger) ; l’étude de la croissance des cristaux et la formation de dendrites ; l’étude la propagation du front de solidification dans un liquide caractérisé par une température inférieure à sa température de solidification (mots-clés google : directional solidification) ; étude du contour d’une colonie de bactérie etc.

Pour les streamers, le contour est simplement la distribution de charge nette qui sépare deux domaines : l’intérieur où le champ électrique est essentiellement nul (voir figure plus haut) [l’intérieur d’un streamer se comporte donc comme un conducteur] et l’extérieur qui est une région sans charge électrique décrite par l’équation de Laplace. Je passe évidemment les détails qui sont trop technique pour être décrits ici.

Le résultat intéressant que j’ai obtenu avant noël est un lien entre le modèle hydrodynamique et le free boundary model. En effet, à l’instar de
Lola, moi aussi j’ai un graphe qui déchire sa race. On peut voir la distribution de charge nette (la même que celle plus haut) qui provient de la résolution numérique des équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées et une courbe bleue qui provient du modèle (free boundary) que j’étudie. Elle n’est pas belle ma solution ? Et en plus c’est analytique. L’expression est relativement simple…


Qui a dit que les ordinateurs étaient indispensables ? Un cerveau qui fonctionne assez bien ce n’est pas mal non plus non :) ?

15:34 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

05 septembre 2005

Sphinx du Troène

Hier ma voisine (voir épisode du poisson rouge) a trouvé dans son jardin une chenille d'environ 6-7cm. J'en avais jamais vu de comme ça, mais je dois bien avouer que je n'ai jamais réellement cherché.





Belle bête n'est-ce-pas?

Après quelques recherches sur internet, j'ai remarqué que les chenilles des papillons Sphinx avaient très souvent cette queue très prononcée. J'ai d'abord pensé au Sphinx colibri (ou encore appelé
Sphinx du Liseron) puisqu'il y en a pas mal chez nous, mais non ce n'est pas ça du tout comme vous pouvez le constater



J'ai alors pensé au Sphinx tête de mort (oui j'ai trop regardé le silence des agneaux). Mais ce n'est pas ça non plus comme vous le constatez


Finalement c'est encore mon ami Google qui m'a aidé puisqu'une simple recherche avec les mots clefs "sphinx" et "chenille" a suffit pour dénicher le nom de la bête (3ème lien seulement). C'est un Sphinx du troène (le troène est une espèce d'arbre). Pas très très joli (moins que la chenille je trouve), jugez vous-même



 

10:04 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

03 septembre 2005

La quête du Graal

Est-on condamné à vieillir ?

Peut-être pas…  (PDF sur la droite)


12:36 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)

29 août 2005

Conférences

Si les conférences "grand public" sur des thèmes aussi variés que

  1. Les sciences de la vie
  2. Les sciences de l'homme
  3. Science et société
  4. Sciences physiques
  5. Mathématiques
  6. Histoires des sciences
vous intéressent, alors ce site est pour vous. Vous y trouverez 350 conférences en ligne.

20:56 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (3)

07 août 2005

Modèles dynamiques de population (III)

Dans le post du 17 juillet, j'expliquais comment on pouvait prendre en compte la limitation des ressources; cela entraînait donc une limite dans la croissance de la population. L'étape suivante dans la modélisation dynamique des populations est de tenir compte de l'interaction entre différentes espèces. Nous avons déjà vu comment modéliser l'interaction entre deux membres d'une même espèce à l'aide d'un terme quadratique. Le terme d'interaction entre deux membres d'espèces différentes sera du même type. Les modèles présentés dans ce post sont l'oeuvre de Alfred James Lotka (1880-1949) (voir ICI et ICI pour de brèves biographies) et de Vito Volterra (1860-1940) (voir ICI et ICI pour de brèves biographies). Il s'agit de modèles proie-prédateur ou de modèles de compétitions.

Un modèle proie-prédateur, est un modèle où, dans sa version la plus simple, on considère deux espèces dont l'une est mangée par l'autre. Les proies n'ont qu'un seul prédateur et se développeraient "indéfiniment" si les prédateurs n'étaient pas présents. Les prédateurs quant à eux n'ont aucun prédateur mais ne peuvent survivre sans les proies.

Un modèle de compétitions, est un modèle où, dans sa version la plus simple, on considère deux espèces qui sont en compétition pour se nourrir (par exemple des lapins et des moutons en compétition pour manger les ressources d'une île ou d'une réserve).

Construisons le modèle proie-prédateur le plus simple. Comme pour le cas d'une seule espèce, le modèle le plus simple est celui où on ne suppose qu'il n'y a pas de limite des ressources due à la surpopulation (voir post du 9 juillet). On appellera X(t) la population des proies et Y(t) la population des prédateurs. Occupons-nous d'abord de l'évolution de la population des proies, . S'il n'y avait pas de prédateurs, la population évoluerait en suivant la loi (rappelons qu'on suppose que le paramètre q vaut 0 pour chaque espèce). On suppose ici que la population des proies grandit s'il n'y a pas de prédateurs. L'interaction entre les proies et les prédateurs conduit à une diminution de la population des proies; il s'agira donc d'un terme négatif quadratique du type -A X(t) Y(t). Le paramètre A mesure en quelque sorte l'efficacité avec laquelle les prédateurs attrapent les proies. Le bilan donne donc l'évolution de la population des proies


Il nous reste maintenant à déterminer l'évolution de la population des prédateurs. Contrairement aux proies, on suppose que les prédateurs ne peuvent survivre sans les proies et que leur population suit la loi . Le paramètre présent dans cette loi est positif (comme tous les paramètres des modèles présentés ici, c'est une convention), on a donc une décroissance exponentielle. Les prédateurs survivent uniquement grâce à leur interaction avec les proies. Ce terme d'interaction sera donc positif et quadratique du type A B X(t) Y(t), où le paramètre B mesure l'efficacité avec laquelle la consommation de proie permet d'augmenter la population des prédateurs, de générer des naissances (0 < B < 1). Le bilan donne donc l'évolution de la population des prédateurs


On a donc cette fois un système d'équations couplées, car la population Y(t) des prédateurs intervient dans l'évolution de la population des proies et inversement.

On peut maintenant s'intéresser aux valeurs de X(t) et Y(t) qui annulent les dérivées premières; ce sont les points d'équilibres. Il y a le point X(t) = Y(t) = 0. Cependant une analyse un peu plus poussée (je passe ici les détails) montre que ce point est instable (saddle point). Donc le système ne tendra pas vers ce point. L'autre point est  et . De nouveau une analyse un peu plus poussée montre que dans ce cas le système ne va pas tendre vers cette valeur (comme c'était le cas pour le modèle de Verhulst), mais le système va osciller autour de ces valeurs "moyennes".

Pour les valeurs suivantes des paramètres A = 0.013, B = 0.5, , et des populations initiales X(0) = 85 et Y(0) = 50, on obtient le graphique suivant

La courbe bleue représente la population des proies et la courbes rouge représente la population des prédateurs. Les courbes en pointillé représentent les valeurs "moyennes" calculées plus haut. Les point importants qui ne dépendent pas des valeurs particulières des paramètres est que d'une part on a un comportement cyclique et que d'autre part le maximum de la population des proies précèdent toujours celui des prédateurs. Les valeurs des paramètres ont été choisi pour correspondre au mieux à une situation réelle où les proies sont de lièvres et les prédateurs de lynx (ça se passe au Canada je pense). Voici la situation sur un graphique

Il faut regarder la situation à partir de 1895 où il y a environ 85000 lièvres pour environ 50000 lynx. Evidemment la situation réelle est moins régulière que le modèle très simple présenté ici, mais les deux caractéristiques principales indépendantes des paramètres et reportées ci-dessus sont bien reproduites. Il faudrait d'une part enrichir le modèle et d'autre part mesurer les valeurs des paramètres (on donne une idée de la procédure ICI).

Une simple modification permet de traiter les modèles de type compétition. J'en discuterai au prochain post.

Voici pour terminer quelques documents.
ICI un document sur les modèles dynamiques des populations provenant de l'encyclopédie Universalis.
ICI un document d'un étudiant suisse sur l'historique des modèles de Lotka-Volterra.
[Le meilleur temps pour réparer sa toiture, c'est lorsque le soleil brille.
John Fitzgerald Kennedy]










23:34 Écrit par Genorb dans Science | Lien permanent | Commentaires (0)